かつ消え、かつ結びて、
意味
副詞として
（１）一方では
（２）すぐに・次々に・次から次へと
（３）ちょっと・わずかに・ほんの少し
接続詞として
（１）そのうえ・それに加えて・また ＊近世以降の用法
ポイント
二つのことが並行して行われることを意味します。
同時並行であれば（１）のように訳し、連鎖的に行われるのであれば（２）のように訳します。
いまでも数学とかで使うよね。
ＰとＱの両方が成り立つというような場合に使うので、（１）の意味に近いですね。
（２）のように、「Ａが起きて、すぐにＢが起きる」とか、「次々にＣが起きる」という使い方は、「ある一つの物事が起きている時間の短さ」を思わせるから、（３）のように「ちょっと」という意味にもなるのかな。
そうですね。
複数の物事が「同時的」あるいは「連鎖的」に起きるということは、その「ひとつひとつ」の程度や時間はたいしたものではないと言えます。
そのことから、「かつ」が、程度や時間の「少なさ」を示すこともあります。それが（３）の意味です。
例文
よどみに浮かぶうたかたは、かつ消え、かつ結びて、久しくとどまりたるためしなし。（方丈記）
（訳）淀み【流れのとどまっているところ】に浮かぶ水の泡は、一方では消え、一方では形をつくって、いつまでもそのままとどまっている例はない。
『方丈記』の冒頭のあたりの一節です。
この例文ごと覚えてしまうのがはやいですね。
かつ現るるをも顧みず、口に任せて言ひ散らすは、やがて浮きたること聞こゆ。（徒然草）
次から次へと（真実が）あらわになることを考えず、口から出まかせに（勝手なことを）言い散らすのは、すぐにあてにならない【いいかげんな】ことだとわかる。
心をぞ わりなきものと 思ひぬる かつ見る人や 恋しかるらむ （伊勢物語）
（訳）心を、わけがわからないものと思った。ちょっと【わずかに】会った人が、どうして（こんなに）恋しいのだろうか。
なほ、松島、塩釜の所々、絵に書き贈る。かつ、紺の染め緒付けたる草鞋二足、はなむけす。（奥の細道）
（訳）なお、（画家の加右衛門は）松島や、塩釜の所々を、絵に描いて贈ってくれる。そのうえ、紺の染布の緒を付けている草鞋を二足、餞別としてくれる。
この例文は接続詞としての用法です。
